微分與Lagrange-multiplier Method
微分
(differentiation) 是一種數學運算,可幫我們求解一個函數的極大值(或極小值)。
(A)The Case of a Function of One
Variable (單一變數函數)
令U為X的函數,即U=U(X)。
以此函數就X進行一次微分,可得該函數之導來式(derivative),U'(X) 或Ux。
欲求U之極大值,需求解U'(X) = 0 (或Ux = 0),稱第一階條件(first
order condition)。
註:第二階條件 (second order condition) 可用來決定是極大或極小值。
此在「個經」課中應有詳細處理,本課暫不談第二階條件。
(練習例:U = X3一12X2十36X十8)
(B)The Case of a Function of Multiple
Variables (多變數函數)
令U為X與Y的函數,即U = U(X,Y)。
則第一階條件為Ux = 0與Uy
= 0。
若有三個變數,U(X,Y,Z),則第一階條件為Ux =
0, Uy = 0, Uz = 0。以此類推。
(C)雙變數函數加上Constraint
求max U(X,Y)
s.t. PxX十PyY = I
此時,定義一個新的三變數之虛擬函數 (hypothetical function)
L=U (X,Y)-λ[PxX+PyY-I]
其中λ為新假設之第三個變數,叫Lagrange multiplier,L函數則稱Lagrange function。
求 L(X,Y,λ) 之極大值
,其第一階條件::
Lx
= 0
Ux-λPx
= 0
Ly
= 0
亦即
Uy-λPy
= 0
Lλ = 0
PxX+PyY-I
= 0
此時可得U之極大值,同時滿足constraint。
(以上可參考 A. Chiang
"Fundamental Method of Mathematical Economics" �埵傢� Differentiation, Optimization, Constrained Optimization等之章節) 。